浮点数的二进制表示

引言

浮点数运算经常会给我们造成一定的困扰，比如在 c/java 中 16777216f 和 16777217f 计算机认为是相等的，在 python 中 0.1+0.2 的结果为 0.30000000000000004 ，当然，我们可以简单的解释为是因为浮点数的不精准导致的，但是为什么会这样呢？浮点数在计算机中又是怎样存储的呢？

float f1=16777216;
float f2=16777217;
printf("%d\n",f1==f2);

基础

1. 对于非常大（日地距离）或非常小（原子半径）的数据，工程师们喜欢使用科学计数法来表示，例如地球和太阳之间的距离是 490,000,000,000 英尺写做 $ 4.9 \times 10^{11} = 49 \times 10^{10} = 0.49 \times 10^{12} $，其中4.9称为有效数，为了便于操作一般规定有效数的取值范围大于等于1且小于10，同样，对于2进制小数$ 101.1101 = 1.011101 \times 2^2 $，有趣的是在规范化的二进制浮点数中，小数点左边只有一个1。
2. 二进制转十进制，$ 1.1001_2 = 1 \times 2^0 + 1 \times 2^{-1} + 0 \times 2^{-2} + 0 \times 2^{-3} + 1 \times 2^{-4} = 1.5625_{10} $。
3. 十进制转二进制，$ 1.5625_{10} $ = 对于整数部分，除2取余，逆序排列；对于小数部分，乘2取整，顺序排列。

正文

当代大部分计算机和计算机程序在处理浮点数时所遵循的标准是ANSI/IEEE Std 754-1985，IEEE浮点数标准定义了两种基本的格式：以4个字节表示的单精度格式和以8个字节表示的双精度格式，下面我们以单精度为例。

单精度浮点数的4个字节分为三部分：

• 1位的符号（0位正，1位负）
• 8位的指数
• 23位的有效数，对于二进制科学计数法的规范式，其有效数的小数点左边有且仅有一个1，因此在标准中这一位没有分配存储空间，也就是说，虽然有效数仅存储了23位，但其精度为24位

$ (-1)^s \times 1.f_2 \times 2^{e-127} $，那么对于一个特定的数，就可以用s（符号），e（指数），一级f（有效数）来描述。

浮点数的存储的思想类似于科学计数法，例如十进制1.1的单精度描述为：0-01111111-00011001100110011001101，其中s为0，e为$ 01111111_2 = 127_{10} $，f为$ 00011001100110011001101_2 = 838861_{10} $

那它是怎么转换的呢？

二进制转十进制

带入$ (-1)^s \times 1.f_2 \times 2^{e-127} $，注意f为2进制形式

$ (-1)^0 \times 1.00011001100110011001101_2 \times 2^0 $ = 1.100000023841858

十进制转二进制

以1.1为例

• 1.1为正数，所以s = 0
• $ 2^0 \lt 1.1 \lt 2^1 $，所以e – 127 = 0
• 1.1转二进制小数为1.00011001100110011001101，所以f = 00011001100110011001101